Question

4．已知曲線f（x）=e^x-4tx+1上存在與直線y=$\frac{1}{3}$x垂直的切線，則實數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A． t＞$\frac{3}{4}$
• B． t≤$\frac{3}{4}$
• C． t＞-$\frac{1}{12}$
• D． t≤-$\frac{1}{12}$

Answer 1

分析 設(shè)切點為（m，n），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由題意可得e^m-4t=-3有解，即e^m=4t-3，運用指數(shù)函數(shù)的值域，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)切點為（m，n），
由f（x）=e^x-4tx+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-4t，
可得切線的斜率為k=e^m-4t，
由題意可得e^m-4t=-3有解，
即e^m=4t-3，由e^m＞0，可得4t-3＞0，
解得t＞$\frac{3}{4}$．
故選：A．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，同時考查存在性問題的解法，注意運用指數(shù)函數(shù)的值域，屬于中檔題．