Question

7．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M為CD的中點(diǎn)，BD⊥PM．
（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若∠APD=60°，求直線AB與平面PBM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點(diǎn)E，連結(jié)PE，EM，AC．則AC∥EM，由菱形性質(zhì)得BD⊥EM，又BD⊥PM，故而B(niǎo)D⊥平面PEM，于是BD⊥PE，又PE⊥AD，故而PE⊥平面ABCD，從而得出結(jié)論；
（2）以E為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBM的法向量和$\overrightarrow{AB}$的坐標(biāo)，計(jì)算出|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AB}$＞|即為答案．

解答 證明：（1）取AD的中點(diǎn)E，連結(jié)PE，EM，AC
∵PA=PD，∴PE⊥AD．
∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵E，M是AD，CD的中點(diǎn)，∴EM∥AC，
∴BD⊥EM，又BD⊥PM，EM?平面PEM，PM?平面PEM，EM∩PM=M，
∴BD⊥平面PEM，∵PE?平面PEM，
∴BD⊥PE，
又AD?平面ABCD，BD?平面ABCD，AD∩BD=D，
∴PE⊥平面ABCD，又PE?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
（2）∵底面ABCD為菱形，且∠DAB=60°，∴△ABE是等邊三角形，
∵∠APD=60°，AP=PD，∴△PAD是等邊三角形．
連結(jié)BE，則BE⊥AE，
以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA，EB，EP所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PA=PD=2，則A（1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），M（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），B（0，$\sqrt{3}$，0）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PM}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\sqrt{3}$）．
設(shè)平面PBM的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PM}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\\{-\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{3}$得$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}$=4，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{7}$，|$\overrightarrow{AB}$|=2，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴直線AB與平面PBM所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定，線面角的計(jì)算，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．