Question

6．求P（x，y）是直角坐標平面xOy上的一個動點，點P到直線x=8的距離等于它到點M（2，0）的距離．
（1）求動點P的軌跡C₁的方程，并指出該軌跡為何種圓錐曲線；
（2）求曲線C₁關于直線x=8的對稱曲線C₂的方程及曲線C₂的焦點坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點P到直線x=8的距離等于它到點M的距離，列方程求出動點P的軌跡C₁的方程，
根據(jù)方程知該軌跡為拋物線；
（2）畫出曲線C₁的圖形，根據(jù)圖象對稱求出曲線C₂的方程和焦點坐標．

解答 解：（1）P（x，y）到直線x=8的距離等于它到點M（2，0）的距離，
∴|x-8|=$\sqrt{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}}$，
化簡得y²=-12x+60，
∴動點P的軌跡C₁的方程為y²=-12（x-5），
∴該軌跡為頂點在（5，0），對稱軸為x軸，開口向左的拋物線；
（2）如圖所示，
曲線C₁的方程為y²=-12（x-5），
焦點為F₁（2，0），
曲線C₁關于直線x=8的對稱曲線C₂的方程為
y²=12（x-11），
且曲線C₂的焦點坐標為F₂（14，0）．

點評 本題考查了求動點軌跡方程的應用問題，也考查了對稱問題與數(shù)形結合的問題，是中檔題．