Question

對數(shù)列{a_n}，{b_n}，若區(qū)間[a_n，b_n]滿足下列條件：
①[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]（n∈N^*）；
②

lim

n→∞

(bn-an)=0，
則稱{[a_n，b_n]}為區(qū)間套．下列選項中，可以構(gòu)成區(qū)間套的數(shù)列是（　�。�

• A、an=(

  1

  2

  )n，bn=(

  2

  3

  )n
• B、an=(

  1

  3

  )n，bn=

  n

  n2+1

• C、an=

  n-1

  n

  ，bn=1+(

  1

  3

  )n
• D、an=

  n+3

  n+2

  ，bn=

  n+2

  n+1

Answer 1

考點：數(shù)列的極限

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：直接利用已知條件，判斷選項是否滿足兩個條件即可．

解答： 解：由題意，對于A，an=(

1

2

)n，bn=(

2

3

)n，∵an+1=(

1

2

)n+1＜an=(

1

2

)n，∴[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]（n∈N^*）不成立，所以A不正確；
對于B，an=(

1

3

)n，bn=

n

n2+1

，∵an+1=(

1

3

)n+1＜an=(

1

3

)n，∴[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]（n∈N^*）不成立，所以B不正確；
對于C，an=

n-1

n

，bn=1+(

1

3

)n，∵an+1=

n

n+1

＞an=

n-1

n

，bn=1+(

1

3

)n＞bn+1=1+(

1

3

)n+1，∴[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]（n∈N^*）成立，并且

lim

n→∞

(bn-an)=0，所以C正確；
對于D，an=

n+3

n+2

，bn=

n+2

n+1

，
∵an+1=

n+4

n+3

＞an=

n+3

n+2

，bn+1=

n+3

n+2

＜bn=

n+2

n+1

，
∴[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]（n∈N^*）不成立，所以D不正確；
故選：C．

點評：本題考查數(shù)列的極限，數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．