如圖，焦點(diǎn)在x軸的橢圓C：
x2
8
+
y2
b2
=1（b＞0），點(diǎn)G（2，0），點(diǎn)P在橢圓上，且PG⊥x軸，連接OP交直線x=4于點(diǎn)M，連接MG交橢圓于A、B．
（Ⅰ）若G為橢圓右焦點(diǎn)，求|OM|；
（Ⅱ）記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求k1+k2的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的簡單性質(zhì)
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（I）不妨設(shè)P在x軸上方，橢圓C的方程為：
x2
8
+
y2
b2
=1（b＞0），可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，
2
b
2
)，根據(jù)題意可得P為線段OM的中點(diǎn)，可得M的坐標(biāo)為(4，
2
b)．G為橢圓右焦點(diǎn)，可得b2=8-4，即可得出|OM|=
16+2b2
．
（Ⅱ）由于直線AB過點(diǎn)M、G，可得kAB=
2
b
2
，可得直線AB的方程為y=
2
b
2
(x-2)，代入橢圓方程并整理得：5x2-16x+8=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式即可得出．
解答： 解：（I）不妨設(shè)P在x軸上方，
由橢圓C的方程為：
x2
8
+
y2
b2
=1（b＞0），令x=2，則y=
2
2
b，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，
2
b
2
)，
根據(jù)題意可得P為線段OM的中點(diǎn)，∴M的坐標(biāo)為(4，
2
b)．
若G為橢圓右焦點(diǎn)，則b2=8-4=4，
∴|OM|=
16+2b2
=2
6
．
（Ⅱ）∵直線AB過點(diǎn)M、G，
∴kAB=
2
b
2
，
則直線AB的方程為y=
2
b
2
(x-2)，
代入橢圓方程并整理得：5x2-16x+8=0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=
16
5
，x1x2=
8
5
．
∴k1+k2=
y1-
2
2
b
x1-2
+
y2-
2
2
b
x2-2
=
y1
x1-2
+
y2
x2-2
-
2
2
b(
1
x1-2
+
1
x2-2
)．
∵y1=
2
b
2
(x1-2)，y2=
2
b
2
(x2-2)．
∴k1+k2=
2
b-
2
2
b•
x1+x2-4
x1x2-2(x1+x2)+4
=
2
2
b．
∵0＜b2＜8，b＞0，
∴0＜b＜2
2
，
∴k1+k2的取值范圍是（0，2）．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x2）=lnx，則f（3）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinx，1），
b
=（cosx，-
1
2
）
（1）當(dāng)
a
⊥
b
時(shí)，求|
a
+
b
|的值；
（2）求函數(shù)f（x）=
a
•(
b
-
a
)的最小正周期；
（3）已知f（x0）=-
3
2
，且x0∈[0．π]，求x0的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交橢圓于A、B兩個不同點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè){an}是遞增等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，且S2，a4+1，S4成等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足an=2log3bn-1（n∈N+）．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）令Cn=
an
bn
（n∈N+），求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a2=1，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=
n(an-a1)
2
．（其中n∈N*）
（1）求a1；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)lgbn=
an+1
3n
，問是否存在正整數(shù)p、q（其中1＜p＜q），使得b1，bp，bq成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組（p，q）；否則，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)O是△ABC的重心，內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且2a•
OA
+b•
OB
+
2
3
3
c•
OC
=
0
，則角C的大小是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題P：
x+1
x-3
≥0，命題Q：|1-
x
2
|＜1，若P是真命題，Q是假命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對數(shù)列{an}，{bn}，若區(qū)間[an，bn]滿足下列條件：
①[an+1，bn+1]?[an，bn]（n∈N*）；
②
lim
n→∞
(bn-an)=0，
則稱{[an，bn]}為區(qū)間套．下列選項(xiàng)中，可以構(gòu)成區(qū)間套的數(shù)列是（　�。�
A、an=(
1
2
)n，bn=(
2
3
)n
B、an=(
1
3
)n，bn=
n
n2+1
C、an=
n-1
n
，bn=1+(
1
3
)n
D、an=
n+3
n+2
，bn=
n+2
n+1

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同步練習(xí)冊答案