Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{3}^{x}-a}{{3}^{x}+a}$的定義域?yàn)镽
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域
（2）若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，①求a的值；②解不等式f（3-m）+f（3-m²）＞0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，可得f（x）=$\frac{{3}^{x}-2}{{3}^{x}+2}$，將其變形可得3^x=$\frac{2y+2}{y-1}$，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得$\frac{2y+2}{y-1}$＞0，解可得y的取值范圍，即可得函數(shù)的值域；
（2）①、結(jié)合題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=$\frac{{3}^{0}-a}{{3}^{0}+a}$=$\frac{1-a}{1+a}$=0，解可得a的值；
②、由①可得函數(shù)的解析式，分析可得函數(shù)f（x）在R上增函數(shù)，由此可以將不等式f（3-m）+f（3-m²）＞0轉(zhuǎn)化為m²+m-6＜0，解即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，若a=2，則f（x）=$\frac{{3}^{x}-2}{{3}^{x}+2}$，
則有3^x=-$\frac{2y+2}{y-1}$，
又由3^x＞0，則有$\frac{2y+2}{y-1}$＜0，
解可得：-1＜y＜1，
即函數(shù)f（x）=$\frac{{3}^{x}-a}{{3}^{x}+a}$的值域?yàn)閧y|-1＜y＜1}；
（2）①、若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且其定義域?yàn)镽，
則有f（0）=$\frac{{3}^{0}-a}{{3}^{0}+a}$=$\frac{1-a}{1+a}$=0，解可得a=1，
②、由①可得，f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$，
分析易得函數(shù)f（x）在R上增函數(shù)；
f（3-m）+f（3-m²）＞0⇒f（3-m）＞-f（3-m²）⇒f（3-m）＞f（m²-3）⇒3-m＞m²-3⇒m²+m-6＜0，
解可得：-3＜m＜2，
則不等式f（3-m）+f（3-m²）＞0解集為{m|-3＜m＜2}．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)值域的求法，（2）的關(guān)鍵是求出a的值．