Question

【題目】已知函數(shù)為上的偶函數(shù)， 為上的奇函數(shù)，且.

（1）求的解析式；

（2）若函數(shù)在上只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) 或.

【解析】試題分析：本題根據(jù)函數(shù)的奇偶性，采用方程組法求函數(shù)的解析式，把已知條件里的x替換為-x，利用函數(shù)的奇偶性，得出一個新的關(guān)系式，兩式聯(lián)立，解出函數(shù)f(x)和g(x)的解析式，寫出函數(shù)h(x)，令h(x)=0，轉(zhuǎn)化為方程只有一根，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次方程只有一個正根，包括一個正根一個負(fù)根及兩個相等正根兩種情況，分別按要求解出a的范圍.

試題解析：

（1）①

.

②

由①②得：

，

由（1）可得：

在上只有一個零點

只有一個實數(shù)根

即只有一個實數(shù)根

令

則 只有一個正實數(shù)根

①當(dāng)時， 符合題意

②當(dāng)時，令

若有一正一負(fù)實數(shù)根，則或，解得；

若有兩個相等的正實數(shù)根，則，解得或（舍）

時， 。

綜上所述： 得取值范圍是或.

【點精】關(guān)于求函數(shù)的解析式問題常用方法有待定系數(shù)法、換元法、方程組法等，本題采用的方法為方程組法；當(dāng)已知函數(shù)為哪種基本初等函數(shù)時，按照函數(shù)的定義形式設(shè)出函數(shù)，利用待定系數(shù)法求出解析式；當(dāng)提供復(fù)合函數(shù)形式時，利用換元法求出解析式，但要注意函數(shù)的定義域；方程組法題型較少，易于掌握，函數(shù)零點問題有時化成函數(shù)圖象與x軸的交點問題，有時化為方程的根的的問題，有時化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，有時還需借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象去解決.