分析 (1)由正弦定理,三角形內(nèi)角和定理,三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知可得cosBsinC=sinCsinB,由于sinC≠0,可求tanB=1,結合范圍B∈(0,π),即可得解A+C的值.
(2)由已知及余弦定理可求$2={a^2}+{c^2}-\sqrt{2}ac$,利用基本不等式可求$ac≤\frac{2}{{2-\sqrt{2}}}=2+\sqrt{2}$,利用三角形面積公式可求△ABC面積的最大值.
解答 解:(1)由正弦定理得到:sinA=sinCsinB+sinBcosC,
因為在三角形中,sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C),
所以sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC,
所以cosBsinC=sinCsinB,
因為C∈(0,π),sinC≠0,
所以cosB=sinB,即tanB=1,
因為B∈(0,π),
所以B=$\frac{π}{4}$,即A+C=$\frac{3π}{4}$.
(2)由余弦定理得到:b2=a2+c2-2accosB,
所以$2={a^2}+{c^2}-\sqrt{2}ac$,
所以$2+\sqrt{2}ac={a^2}+{c^2}≥2ac$,即$ac≤\frac{2}{{2-\sqrt{2}}}=2+\sqrt{2}$,當且僅當a=c即$a=c=\sqrt{2+\sqrt{2}}$時“=”成立.
而${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{2}}}{4}ac$,
所以△ABC面積的最大值為$\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}$.
點評 本題主要考查了正弦定理,三角形內(nèi)角和定理,三角函數(shù)恒等變換的應用,余弦定理,基本不等式,三角形面積公式在解三角形中的應用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | k3>k1>k2 | B. | k1-k2>0 | C. | k1•k2<0 | D. | k3>k2>k1 |
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A. | $\sqrt{3}$f($\frac{π}{4}$)>$\sqrt{2}$f($\frac{π}{3}$) | B. | $\sqrt{2}$f($\frac{π}{6}$)>f($\frac{π}{4}$) | C. | f(1)<2f($\frac{π}{6}$)sin1 | D. | $\sqrt{3}$f($\frac{π}{6}$)<f($\frac{π}{3}$) |
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