Question

7．有下列命題：
①冪函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②若函數(shù)f（x+2016）=x²-2x-1（x∈R），則函數(shù)f（x）的最小值為-2；
③若函數(shù)f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則f（-2）＜f（a+1）；
④若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-1）x+4a，（x＜1）}\\{lo{g}_{a}x，（x≥1）}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，則a的取值范圍是（$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）；
 ⑤既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f（x）=0（x∈R）．
其中正確命題的序號有②③．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一分析給定的五個(gè)命題的真假，可得答案．

解答 解：①冪函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$有兩個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間：（-∞，0），（0，+∞），在（-∞，0）∪（0，+∞）上不具單調(diào)性，故錯(cuò)誤；
②若函數(shù)f（x+2016）=x²-2x-1=（x-1）²-2（x∈R），當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為-2，故正確；
③若函數(shù)f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則a＞1，a+1＞2，
則f（-2）=f（2）＜f（a+1）；故正確
④若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-1）x+4a，（x＜1）}\\{lo{g}_{a}x，（x≥1）}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}3a-1＜0\\ 0＜a＜1\\ 3a-1+4a≥0\end{array}\right.$
解得：a的取值范圍是[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）；故錯(cuò)誤，
⑤既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)不一定是f（x）=0（x∈R）．定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱即可，故錯(cuò)誤；
故答案為：②③

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，函數(shù)的奇偶性等知識點(diǎn)，難度中檔．