Question

5．某校高三一班舉辦消防安全知識競賽，分別選出3名男生和3名女生組成男隊(duì)和女隊(duì)，每人一道必答題，答對則為本隊(duì)得10分，答錯(cuò)與不答都得0分，已知男隊(duì)每人答對的概率依次為$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，女隊(duì)每人答對的概率都是$\frac{2}{3}$，設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用X表示男隊(duì)的總得分．
（I） 求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（X）；
（Ⅱ）求在男隊(duì)和女隊(duì)得分之和為50的條件下，男隊(duì)比女隊(duì)得分高的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）X的所有可能取值為0，10，20，30，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
（Ⅱ）設(shè)“男隊(duì)和女隊(duì)得分之和為50”為事件A，“男隊(duì)比女隊(duì)得分高”為事件B，由此利用條件概率計(jì)算公式能求出在男隊(duì)和女隊(duì)得分之和為50的條件下，男隊(duì)比女隊(duì)得分高的概率．

解答 解：（Ⅰ）X的所有可能取值為0，10，20，30，
P（X=0）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{16}$，
P（X=10）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{5}{16}$，
P（X=20）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{7}{16}$，
P（X=30）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{16}$，
∴X的分布列為：

X	0	10	20	30
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{7}{16}$	$\frac{3}{16}$

E（X）=$0×\frac{1}{16}+10×\frac{5}{16}$+20×$\frac{7}{16}+30×\frac{3}{16}$=$\frac{35}{2}$．
（Ⅱ）設(shè)“男隊(duì)和女隊(duì)得分之和為50”為事件A，“男隊(duì)比女隊(duì)得分高”為事件B，
則P（A）=$\frac{7}{16}×{C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}+{C}_{3}^{2}×（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{23}{108}$，
P（AB）=$\frac{3}{16}×{C}_{3}^{2}×（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$，
∴在男隊(duì)和女隊(duì)得分之和為50的條件下，男隊(duì)比女隊(duì)得分高的概率：
P（B|A）=$\frac{P（AB）}{P（A）}$=$\frac{\frac{1}{12}}{\frac{23}{108}}$=$\frac{9}{23}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意條件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．