Question

12．已知實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+（1+a）x+a+b+1=0的兩個(gè)實(shí)根為x₁，x₂，且 0＜x₁＜1＜x₂，則$\frac{a}$的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，$\frac{1}{2}$）
• B． （-2，$\frac{1}{2}$）
• C． $（-1，-\frac{1}{2}）$
• D． $（-2，-\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂，結(jié)合對(duì)應(yīng)二次函數(shù)性質(zhì)得到 $\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$，然后在平面直角坐標(biāo)系中，做出滿足條件的可行域，分析$\frac{a}$的幾何意義，然后數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的二次項(xiàng)系數(shù)為1＞0，
故函數(shù)f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b圖象開口方向朝上，
又∵方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂，
$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜1}\end{array}\right.$代入方程可得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1＞0}\\{2a+b+3＜0}\end{array}\right.$
其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下圖陰影示：

$\frac{a}$表示陰影區(qū)域上一點(diǎn)與原點(diǎn)邊線的斜率，
由圖可知$\frac{a}∈（-2，\frac{1}{2}）$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，三個(gè)二次之間的關(guān)系，線性規(guī)劃，其中由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系可得到不等式，屬于中檔題．