Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知焦距為4的橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，橢圓C的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S，若線段RS的長(zhǎng)為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線l：y=9x+m對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）若P為橢圓C在第一象限的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓x²+y²=5的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，求△MON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得，c=2，故a²-b²=4，又橢圓過(guò)點(diǎn)（2，），代入橢圓方程，列方程求解a，b即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)D、E是橢圓C上關(guān)于l：y=9x+m對(duì)稱的點(diǎn)，設(shè)直線DE的方程為；聯(lián)立直線DE的方程與橢圓方程，根據(jù)判別式大于0求出n的范圍；再結(jié)合D，E的中點(diǎn)在直線l上得到m和n的關(guān)系，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)出P，A，B的坐標(biāo)．得到直線PA與直線PB的方程，進(jìn)而得到直線AB的方程，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，表示出△MON的面積；再結(jié)合P為橢圓C在第一象限的動(dòng)點(diǎn)即可求出面積的最小值．
解答：解：（1）依題意，橢圓過(guò)點(diǎn)，故，解得．…（3分）
橢圓C的方程為．…（4分）
（2）設(shè)D、E是橢圓C上關(guān)于l：y=9x+m對(duì)稱的點(diǎn)，設(shè)直線DE的方程為．
聯(lián)系方程得：，由△＞0得
又DE的中點(diǎn)在直線l上，代入得，
代入△得．
（3）設(shè)P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則直線PA：x₁x+y₁y=5，直線PB：x₂x+y₂y=5
所以，直線AB：xx+yy=5，故，，所以，
而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
此時(shí)．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、直線與橢圓的位置關(guān)系及直線，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意運(yùn)用方程思想等數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力、運(yùn)算技巧、邏輯推理能力，難度較大．