Question

9．已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$），且AC，BC所在直線的斜率之積等于$-\frac{3}{4}$．
（1）求頂點C的軌跡M的方程；
（2）當點P（1，t）為曲線M上點，且點P為第一象限點，過點P作兩條直線與曲線M交于E，F(xiàn)兩點，直線PE，PF斜率互為相反數(shù)，則直線EF斜率是否為定值，若是，求出定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）C點坐標為（x，y），運用直線的斜率公式，化簡整理，可得所求軌跡方程，注意去除y軸上的點；
（2）設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），令直線PE：y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），聯(lián)立橢圓方程，運用韋達定理求得E的坐標，同理將k換為-k，可得F的坐標，再由直線的斜率公式，化簡整理，即可得到定值．

解答 解：（1）令C點坐標為（x，y），
則直線AC的斜率k₁=$\frac{y+\sqrt{3}}{x}$，直線BC的斜率k₂=$\frac{y-\sqrt{3}}{x}$，
因為兩直線的斜率之積為$-\frac{3}{4}$，
所以有$\frac{{y-\sqrt{3}}}{x}•\frac{{y+\sqrt{3}}}{x}=-\frac{3}{4}$，
化簡得到$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（x≠0）$，
所以軌跡M表示焦點在x軸上的橢圓，且除去（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$）兩點；
（2）由題意曲線M為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠0），點P（1，$\frac{3}{2}$），
設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），令直線PE：y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），聯(lián)立橢圓方程，
得（3+4k²）x²+8k（$\frac{3}{2}$-k）x+4（$\frac{3}{2}$-k）²-12=0，
則x₁x_P=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，故x₁=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，
同理x₂=$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，
k_EF=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k（{x}_{2}-1）+\frac{3}{2}-[k（{x}_{1}-1）+\frac{3}{2}]}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
=$\frac{-k（{x}_{2}+{x}_{1}）+2k}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k•（8{k}^{2}-6）+2k（3+4{k}^{2}）}{24k}$=$\frac{1}{2}$，
故直線EF斜率為為定值$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用直線的斜率公式，考查直線的斜率是否為定值的求法，注意運用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．