Question

14．定義在（0，+∞）上函數(shù)f（x）滿足對任意x，y∈（0，+∞），都有xyf（xy）=xf（x）+yf（y），記數(shù)列a_n=f（2ⁿ），有以下命題：
①f（1）=0；
②a₁=a₂；
③令函數(shù)g（x）=xf（x），則$g（x）+g（\frac{1}{x}）=0$；
④令數(shù)列b_n=2ⁿ•a_n，則數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
其中真命題的序號為①②③．

Answer 1

分析 ①令x=y=1代入所給的式子求出f（1）的值，并判斷①真假；
②令x=y=2代入式子化簡，再結(jié)合數(shù)列的通項公式進(jìn)行判斷②的真假；
③令y=$\frac{1}{x}$代入式子化簡后，再由函數(shù)g（x）的解析式轉(zhuǎn)化，判斷③真假；
④利用{b_n}的通項公式分別求出b₁、b₂、b₃，令x=2，y=4代入式子化簡后，再由等比數(shù)列的定義判斷④真假．

解答 解：①令x=y=1，代入xyf（xy）=xf（x）+yf（y）得，f（1）=0，①正確；
②令x=y=2，得4f（4）=2f（2）+2f（2），即f（4）=f（2），
又由a_n=f（2ⁿ）得，a₁=f（2），a₂=f（4），則a₁=a₂，②正確；
③令y=$\frac{1}{x}$，得f（1）=xf（x）+$\frac{1}{x}f（\frac{1}{x}）$
由g（x）=xf（x），得g（x）+g（$\frac{1}{x}$）=f（1）=0，③正確；
④由b_n=2ⁿ•a_n，得b₁=2a₁，b₂=4a₂，b₃=8a₃，而a₁=a₂，a₃=f（8），
令x=2，y=4，得8f（8）=2f（2）+4f（4），
化簡得，f（8）=$\frac{3}{4}$f（2），即a₃=$\frac{3}{4}$a₂=$\frac{3}{4}$a₁，
顯然b₁、b₂、b₃不是等比數(shù)列中的項，所以數(shù)列{b_n}不是等比數(shù)列，④錯．
故其中正確命題的為：①②③．
故答案為：①②③

點(diǎn)評 本題考查了抽象函數(shù)，及數(shù)列通項公式和等比數(shù)列定義的應(yīng)用，此題的關(guān)鍵是根據(jù)條件正確給x和y值，利用恒等式進(jìn)行求解，考查了解決抽象函數(shù)問題常用的方法：賦值法．