Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)A，B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且|AB|=$\sqrt{7}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）橢圓C的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F點(diǎn)的兩條互相垂直的直線l₁、l₂，直線l₁與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線l₂與直線x=4交于T點(diǎn)，求證：線段PQ的中點(diǎn)在直線OT上．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件運(yùn)用離心率公式和兩點(diǎn)距離公式，求出a，b，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)PQ的方程為：x=my+1代入橢圓方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系，求得PQ的中點(diǎn)G的坐標(biāo)，求出OG和OT的斜率，即可得證．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
又a²-b²=c²，
$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{7}$，
解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
故所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）證明：設(shè)直線PQ的方程為：x=my+1，
代入橢圓方程3x²+4y²=12，
得（3m²+4）y²+6my-9=0，
則判別式△=36m²+4×9（3m²+4）＞0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點(diǎn)G（x₀，y₀），
則y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
則y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=-$\frac{3m}{3{m}^{2}+4}$，x₀=my₀+1=$\frac{4}{3{m}^{2}+4}$，
即G（$\frac{4}{3{m}^{2}+4}$，-$\frac{3m}{3{m}^{2}+4}$），
k_OG=-$\frac{3m}{3{m}^{2}+4}$•$\frac{3{m}^{2}+4}{4}$=-$\frac{3m}{4}$，
設(shè)直線FT的方程為：y=-m（x-1），得T點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3m），
由k_OT=-$\frac{3m}{4}$，
可得k_OG=k_OT，
即線段PQ的中點(diǎn)在直線OT上．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓方程的求解以及直線和橢圓的位置關(guān)系是應(yīng)用，利用直線和橢圓方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力，運(yùn)算量較大，屬于中檔題．