Question

5．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知E、F、G分別是棱AB、AD、D₁A₁的中點(diǎn)．
（1）求證：BG∥平面A₁EF：
（2）若P為棱CC₁上一點(diǎn)，求當(dāng)$\frac{CP}{P{C}_{1}}$等于多少時(shí)，平面A₁EF⊥平面EFP？

Answer 1

分析 （1）連接BD、DG，證明平面BGD∥平面A₁EF，再證明BG∥平面A₁EF；
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面A₁EF的法向量與平面EFP的法向量互相垂直，即可求出$\frac{CP}{P{C}_{1}}$的值．

解答 解：（1）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是棱AB、AD、D₁A₁的中點(diǎn)，
連接BD、DG，則EF∥BD，
GD∥A₁F，
又BD?平面A₁EF，EF?平面A₁EF，所以BD∥平面A₁EF；
同理，GD∥平面A₁EF，
且BD∩GD=D，BD?平面BGD，GD?平面BGD，
所以平面BGD∥平面A₁EF，
又BG?平面BGD，
所以BG∥平面A₁EF；
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，CP=t（0≤t≤1），
A₁（1，0，1），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
D（0，0，0），E（1，$\frac{1}{2}$，0），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，0，0），P（0，1，t）；
$\overrightarrow{EF}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{{EA}_{1}}$=（0，-$\frac{1}{2}$，1），
設(shè)平面A₁EF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{EA}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y=0}\\{-\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-$\frac{1}{2}$）；
又$\overrightarrow{EP}$=（-1，$\frac{1}{2}$，t），
設(shè)平面EFP的法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EP}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b=0}\\{-a+\frac{1}{2}b+tc=0}\end{array}\right.$，
取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，$\frac{3}{2t}$），
又平面A₁EF⊥平面EFP，
所以$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{m}$=1+1-$\frac{3}{4t}$=0，解得t=$\frac{3}{8}$，
所以CP=$\frac{3}{8}$，
即$\frac{CP}{P{C}_{1}}$=$\frac{3}{5}$時(shí)，平面A₁EF⊥平面EFP．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了異面直線垂直的證明，也考查了直線與平面平行的證明以及使二面角為直二面角的線段的比值的求法問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．