15.已知當n∈N*時,Tn=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$,Sn=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$.
(1)求S1,S2,T1,T2
(2)猜想Sn與Tn的大小關(guān)系,并用數(shù)學歸納法證明.

分析 (1)由已知直接利用n=1,2,求出S1,S2,T1,T2的值;
(2)利用(1)的結(jié)果,直接猜想Sn=Tn,然后利用數(shù)學歸納法證明,①驗證n=1時猜想成立;②假設(shè)n=k時,Sk=Tk,通過假設(shè)證明n=k+1時猜想也成立即可.

解答 解:(1)S1=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$,S2=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$,T1=$\frac{1}{2}$,T2=$\frac{1}{2+1}$+$\frac{1}{2+2}$=$\frac{7}{12}$;
(2)由(1)可以猜想,Sn=Tn,n∈N*,
證明如下:①當n=1時,猜想成立;
②假設(shè)n=k時,猜想成立,則Sk=Tk,(k≥1,k∈N*),
那么當n=k+1時,Sk+1=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$=Sk+$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$,
Tk+1=$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{k+k}$+$\frac{1}{k+k+1}$+$\frac{1}{2(k+1)}$=Tk+$\frac{1}{k+k+1}$+$\frac{1}{2(k+1)}$-$\frac{1}{k+1}$=Tk+$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$,
∴Sk+1=Tk+1
∴當n=k+1猜想成立,
由①②可知,Sn=Tn,n∈N*,

點評 本題是中檔題,考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用,數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題的方法,考查邏輯推理能力,計算能力.

練習冊系列答案
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