Question

15．已知當n∈N^*時，T_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$，S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$．
（1）求S₁，S₂，T₁，T₂．
（2）猜想S_n與T_n的大小關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）由已知直接利用n=1，2，求出S₁，S₂，T₁，T₂的值；
（2）利用（1）的結(jié)果，直接猜想S_n=T_n，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明，①驗證n=1時猜想成立；②假設(shè)n=k時，S_k=T_k，通過假設(shè)證明n=k+1時猜想也成立即可．

解答 解：（1）S₁=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，S₂=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$，T₁=$\frac{1}{2}$，T₂=$\frac{1}{2+1}$+$\frac{1}{2+2}$=$\frac{7}{12}$；
（2）由（1）可以猜想，S_n=T_n，n∈N^*，
證明如下：①當n=1時，猜想成立；
②假設(shè)n=k時，猜想成立，則S_k=T_k，（k≥1，k∈N*），
那么當n=k+1時，S_k+1=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$=S_k+$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$，
T_k+1=$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{k+k}$+$\frac{1}{k+k+1}$+$\frac{1}{2（k+1）}$=T_k+$\frac{1}{k+k+1}$+$\frac{1}{2（k+1）}$-$\frac{1}{k+1}$=T_k+$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$，
∴S_k+1=T_k+1．
∴當n=k+1猜想成立，
由①②可知，S_n=T_n，n∈N^*，

點評 本題是中檔題，考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題的方法，考查邏輯推理能力，計算能力．