Question

6．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增為的是（　�。�

• A． y=ln（x+1）
• B． y=$\frac{1}{2}$x²+cosx
• C． y=x⁴-3x²
• D． y=3x+sinx

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

解答 解：A．函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞），函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．
B．f（-x）=$\frac{1}{2}$（-x）²+cos（-x）=$\frac{1}{2}$x²+cosx=f（x），則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x-sinx，
則（f′（x））′=1-cosx＞0在（0，1）上恒成立，則f′（x）在（0，1）上為增函數(shù)，則f′（x）＞0-sin0=0，即f（x）為增函數(shù)，則B滿足條件．
C．f（-x）=（-x）⁴-3（-x）²═x⁴-3x²=f（x），則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）═4x³-6x=2x（2x²-6），則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0恒成立，則函數(shù)在（0，1）上不是增函數(shù)，不滿足條件．
D．f（-x）=-3x-sinx=-（3x+sinx）=-f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，不滿足條件．
故選：B

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，以及可以函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．