Question

17．對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿(mǎn)足（x-3）f′（x）≤0，則必有（　　）

• A． f（0）+f（6）≤2f（3）
• B． f（0）+f（6）＜2f（3）
• C． f（0）+f（6）≥2f（3）
• D． f（0）+f（6）＞2f（3）

Answer 1

分析 分x≥3和x＜3兩種情況對(duì)（x-3）f′（x）≤0進(jìn)行討論，由極值的定義可得當(dāng)x=3時(shí)f（x）取得極大值也為最大值，故問(wèn)題得證．

解答 解：依題意，當(dāng)x≥3時(shí)，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在（3，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)x＜3時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，3）上是增函數(shù)，
故當(dāng)x=3時(shí)f（x）取得極大值也為最大值，即有
f（0）≤f（3），f（6）≤f（3），
∴f（0）+f（6）≤2f（3）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題以解不等式的形式，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法，同時(shí)靈活應(yīng)用了分類(lèi)討論的思想，是一道好題．