12.已知$f(x)=\frac{1}{2}{x^2}+aln(x+1)(其中a為常數(shù))$有兩個極值點x1,x2且x1<x2
(1)求a取值范圍并討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)求f(x2)的取值范圍.

分析 (1)先確定函數(shù)的定義域然后求導數(shù)f′(x),令g(x)=2x2+2x+a,由題意知x1、x2是方程g(x)=0的兩個均大于-1的不相等的實根,建立不等關系解之即可,在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0和f′(x)<0,求出單調(diào)區(qū)間;
(2)x2是方程g(x)=0的根,將a用x2表示,消去a得到關于x2的函數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值,即可求f(x2)的取值范圍.

解答 解:(1)求導函數(shù)可得f′(x)=$\frac{{x}^{2}+x+a}{x+1}$(x>-1)
令g(x)=x2+x+a,其對稱軸為x=-$\frac{1}{2}$,
由題意知x1、x2是方程g(x)=0的兩個均大于-1的不相等的實根,
其充要條件為△=4-4a>0且g(-1)=a>0,得0<a<$\frac{1}{4}$…(2分)
①當x∈(-1,x1)時,f'(x)>0,∴f(x)在(-1,x1)內(nèi)為增函數(shù);
②當x∈(x1,x2)時,f'(x)<0,∴f(x)在(x1,x2)內(nèi)為減函數(shù);
③當x∈(x2,+∞)時,f'(x)>0,∴f(x)在(x2,+∞)內(nèi)為增函數(shù);
(2)由(1)g(0)=a>0,∴-$\frac{1}{2}$<x2<0,a=-(x22+x2
∴f(x2)=$\frac{1}{2}$x22+aln(1+x2)=$\frac{1}{2}$x22-(x22+x2)ln(1+x2
設h(x)=x2-(2x2+2x)ln(1+x)(x>-$\frac{1}{2}$),…(8分)
則h'(x)=2x-2(2x+1)ln(1+x)-2x=-2(2x+1)ln(1+x)…(10分)
①當x∈(-$\frac{1}{2}$,0)時,h'(x)>0,∴h(x)在(-$\frac{1}{2}$,0)單調(diào)遞增;
②當x∈(0,+∞)時,h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減 …(12分)
∴當x∈(-$\frac{1}{2}$,0)時,h(x)>h(-$\frac{1}{2}$)=$\frac{1-2ln2}{4}$,
故f(x2)=$\frac{1}{2}$h(x2)>$\frac{1-2ln2}{8}$.    …(14分)

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及利用導數(shù)研究函數(shù)的極值等有關知識,屬于中檔題.

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(3)求證:ln($\frac{1}{2^2}$+1)+ln($\frac{1}{3^2}$+1)+ln($\frac{1}{4^2}$+1)+…+ln($\frac{1}{n^2}$+1)<1(n≥2,n∈N*).

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