7.如圖,ABC-A1B1C1是底面邊長為2,高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的正三棱柱,經(jīng)過AB的截面與上底面相交于PQ,設(shè)C1P=λC1A1(0<λ<1).
(Ⅰ)證明:PQ∥A1B1;
(Ⅱ)當(dāng)CF⊥平面ABQP時,在圖中作出點C在平面ABQP內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體CABF的體積.

分析 (I)利用面面平行的性質(zhì)定理即可證明.
(II)F點是PQ中點,理由如下:當(dāng)$λ=\frac{1}{2}時$,P、Q分別是A1C1,A1B1的中點,連接CQ和CP,由ABC-A1B1C1是正三棱柱,可得CQ=CP,CF⊥QP,取AB中點H,連接FH,CH,在等腰梯形ABQP中,F(xiàn)H2=AP2-$\frac{1}{4}A{B}^{2}$,可得CF2+FH2=CH2,可得CF⊥FH.可得CF⊥平面ABF,即CF⊥平面ABQP,即可得出.

解答 (I)證明:∵平面ABC∥平面A1B1C1,平面ABC∩平面ABQP=AB,平面ABQP∩平面A1B1C1=QP,
∴AB∥PQ,
又∵AB∥A1B1,∴PQ∥A1B1
(Ⅱ)解:F點是PQ中點,理由如下:
當(dāng)$λ=\frac{1}{2}時$,P、Q分別是A1C1,A1B1的中點,連接CQ和CP,
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱,∴CQ=CP,∴CF⊥QP,
取AB中點H,連接FH,CH,在等腰梯形ABQP中,
FH2=AP2-$\frac{1}{4}A{B}^{2}$=$\frac{3}{2}$.
CF=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$,CH=$\sqrt{3}$,
∴CF2+FH2=CH2,∴CF⊥FH,
∵QP∩FH=H,∴CF⊥平面ABF,即CF⊥平面ABQP,
∴F點是C在平面ABQP內(nèi)的正投影.
∴${V_{C-ABF}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}•2•\frac{{\sqrt{6}}}{2}×\frac{{\sqrt{6}}}{2}=\frac{1}{2}$.

點評 本題考查了正三棱柱的性質(zhì)、線面平行垂直的判定與性質(zhì)定理、等腰梯形等腰三角形的性質(zhì)、三棱錐的體積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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