Question

7．如圖，ABC-A₁B₁C₁是底面邊長為2，高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的正三棱柱，經過AB的截面與上底面相交于PQ，設C₁P=λC₁A₁（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）證明：PQ∥A₁B₁；
（Ⅱ）當CF⊥平面ABQP時，在圖中作出點C在平面ABQP內的正投影F（說明作法及理由），并求四面體CABF的體積．

Answer 1

分析 （I）利用面面平行的性質定理即可證明．
（II）F點是PQ中點，理由如下：當$λ=\frac{1}{2}時$，P、Q分別是A₁C₁，A₁B₁的中點，連接CQ和CP，由ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，可得CQ=CP，CF⊥QP，取AB中點H，連接FH，CH，在等腰梯形ABQP中，FH²=AP²-$\frac{1}{4}A{B}^{2}$，可得CF²+FH²=CH²，可得CF⊥FH．可得CF⊥平面ABF，即CF⊥平面ABQP，即可得出．

解答 （I）證明：∵平面ABC∥平面A₁B₁C₁，平面ABC∩平面ABQP=AB，平面ABQP∩平面A₁B₁C₁=QP，
∴AB∥PQ，
又∵AB∥A₁B₁，∴PQ∥A₁B₁．
（Ⅱ）解：F點是PQ中點，理由如下：
當$λ=\frac{1}{2}時$，P、Q分別是A₁C₁，A₁B₁的中點，連接CQ和CP，
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，∴CQ=CP，∴CF⊥QP，
取AB中點H，連接FH，CH，在等腰梯形ABQP中，
FH²=AP²-$\frac{1}{4}A{B}^{2}$=$\frac{3}{2}$．
CF=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，CH=$\sqrt{3}$，
∴CF²+FH²=CH²，∴CF⊥FH，
∵QP∩FH=H，∴CF⊥平面ABF，即CF⊥平面ABQP，
∴F點是C在平面ABQP內的正投影．
∴${V_{C-ABF}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}•2•\frac{{\sqrt{6}}}{2}×\frac{{\sqrt{6}}}{2}=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了正三棱柱的性質、線面平行垂直的判定與性質定理、等腰梯形等腰三角形的性質、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．