Question

16．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列．
（Ⅰ）若a+c=$\sqrt{3}$，B=60°，求a，b，c的值；
（Ⅱ）求角B的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，利用正弦定理和余弦定理，列出方程組求出a、b和c的值；
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理，利用基本不等式，即可求出角B的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，
∴sin²B=sinA•sinC，
即b²=ac；
又B=60°，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$；----------（4分）
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{^{2}=ac}\\{a+c=\sqrt{3}}\\{\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=b=c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；-------（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得
cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}-ac}{2ac}$，---------------（8分）
∵a²+c²≥2ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，---------（10分）
∴角B的取值范圍是0°＜B≤60°．-------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦和余弦定理的應(yīng)用問題，也考查了等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用問題，考查了解方程組的應(yīng)用問題，是綜合性題目．