Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（0，$\sqrt{3}}$），離心率為$\frac{1}{2}$，左，右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=-$\frac{1}{2}$x+m與橢圓交于A，B兩點，與圓x²+y²=c²交于C，D兩點，且滿足：|AB|=$\frac{{5\sqrt{3}}}{4}$|CD|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：b=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=c²+b²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）由（1）知圓x²+y²=1，圓心（0，0）到l的距離$d=\frac{2|m|}{{\sqrt{5}}}$＜1，利用|CD|=2$\sqrt{{r}^{2}-nulrtsy^{2}}$，可得|CD|．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立化為x²-mx+m²-3=0，利用弦長公式可得$|{AB}|=\sqrt{\frac{5}{4}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$，利用$|{AB}|=\frac{{5\sqrt{3}}}{4}|{CD}|$，解得m．

解答 解：（1）由題意知$\left\{{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{b^2}={a^2}-{c^2}}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\\{c=1}\end{array}}\right.$，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）由（1）知圓x²+y²=1，圓心（0，0）到l的距離$d=\frac{2|m|}{{\sqrt{5}}}$＜1，
∴$|m|＜\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，$|{CD}|=2\sqrt{1-\frac{4}{5}{m^2}}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.⇒$x²-mx+m²-3=0，
△＞0⇒${x_1}+{x_2}=m，{x_1}{x_2}={m^2}-3$，
∴$|{AB}|=\sqrt{\frac{5}{4}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\frac{{\sqrt{15}}}{2}\sqrt{4-{m^2}}$，
由$|{AB}|=\frac{{5\sqrt{3}}}{4}|{CD}|$，得${m^2}=\frac{1}{3}$$＜\frac{5}{4}$，∴$m=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
故直線l的方程為$l：y=-\frac{1}{2}x±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓及其圓相交弦長公式、點到直線的距離公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．