Question

5．設(shè)$\frac{{（1+2x{）^9}}}{{{{（1+x）}^5}}}$=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+$\frac{{{b_0}+{b_1}x+{b_2}{x^2}+{b_3}{x^3}+{b_4}{x^4}}}{{{{（1+x）}^5}}}$，其中a_i，b_i為實(shí)數(shù)（i=0，1，2，3，4），則a₃=-256．

Answer 1

分析 等式兩邊乘以（1+x）⁵，對(duì)比兩邊x⁹的系數(shù)得${a_4}={2^9}$，對(duì)比兩邊x⁸的系數(shù)得$5{a_4}+{a_3}=C_9^8{2^8}$，從而求得a₃的值．

解答 解：等式兩邊乘以（1+x）⁵，
可得（1+2x）⁹=（a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴）•（1+x）⁵+b₀+b₁x+b₂x²+b₃x³+b₄x⁴，
對(duì)比兩邊x⁹的系數(shù)得 ${C}_{9}^{9}$•2⁹=${a_4}={2^9}$，對(duì)比兩邊x⁸的系數(shù)得$5{a_4}+{a_3}=C_9^8{2^8}$，
∴${a_3}=C_9^8×{2^8}-5×{2^9}=-256$，
故答案為：-256．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．