Question

7．已知x²+y²=1，則x²+xy+2y²的最大值與最小值分別為$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用圓的參數方程，結合二倍角、輔助角公式化簡，即可求出x²+xy+2y²的最大值與最小值．

解答 解：令x=cosα，y=sinα，則x²+xy+2y²=1+cosαsinα+sin²α=1+$\frac{1}{2}$sin2α+$\frac{1}{2}$（1-cos2α）
=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2α-45°），
∴sin（2α-45°）=-1時，x²+xy+2y²取得最小值$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
sin（2α-45°）=1時，x²+xy+2y²取得最大值$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查x²+xy+2y²的最大值與最小值，考查圓的參數方程、二倍角、輔助角公式的運用，屬于中檔題．