Question

已知函數(shù)f（x）=x³-6x²+9x-2給出以下命題
（1）若直線y=a與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（-2，2）
（2）若函數(shù)y=f（x）+3bx不存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（1，+∞）
（3）過點(diǎn)M（0，2）且與y=f（x）相切的直線有三條
（4）方程f（x）=

2

2-x

的所有根的和為16．
其中真命題的序號(hào)是

 

（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極值，作出f（x）的圖象，由圖象觀察可得a的取值范圍，即可判斷（1）；
求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)小于等于0，不等式無解，可得b的范圍，即可判斷（2）；
設(shè)出切點(diǎn)，求出切線方程，解方程求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可判斷（3）；
作出雙曲線y=

2

2-x

的圖象，可得圖象關(guān)于（2，0）對(duì)稱，再由圖象觀察它們共有4個(gè)交點(diǎn)，可得橫坐標(biāo)之和為8，即可判斷（4）．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x³-6x²+9x-2的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=3x²-12x+9，
f′（x）＞0解得x＞3或x＜1，f（x）遞增；
f′（x）＜0可得1＜x＜3，f（x）遞減．
即f（1）取得極大值2，f（3）取得極小值-2，
作出f（x）的圖象，如右．
對(duì)于（1），作出直線y=a，由圖象可得當(dāng)-2＜a＜2時(shí)，
則直線與f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則（1）正確；
對(duì)于（2），若函數(shù)y=f（x）+3bx不存在單調(diào)遞減區(qū)間，則y′=3x²-12x+9+3b≤0不成立，
即有3（x-2）²≤-3b+3無解，則有3-3b＜0，解得b＞1，則（2）正確；
對(duì)于（3），設(shè)過點(diǎn)M（0，2）且與y=f（x）相切的切點(diǎn)為（m，n），則切線斜率為3m²-12m+9，
切線方程為y-n=（3m²-12m+9）（x-m），代入（0，2），可得n=3m³-12m²+9m+2，又n=m³-6m²+9m-2，
則有m³-3m²+2=0，即（m-1）（m²-2m-2）=0，解得m=1或1±

3

，則切線共有3條，則（3）正確；
對(duì)于（4），作出雙曲線y=

2

2-x

的圖象，可得圖象關(guān)于（2，0）對(duì)稱，由圖象可得y=f（x）的圖象與雙曲線
交于4個(gè)點(diǎn)，它們關(guān)于（2，0）對(duì)稱，則它們的橫坐標(biāo)和為4+4=8，則（4）錯(cuò)誤．
故答案為：（1）（2）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三次函數(shù)的圖象的運(yùn)用，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間以及極值，考查函數(shù)的對(duì)稱性以及運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．