Question

已知{a_n}是由正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和S_n與a_n之間滿足：a_n+

1

2

=

2Sn+ 1 4

（n≥1且n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（

1

2

）ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由a_n+

1

2

=

2Sn+ 1 4

（n≥1且n∈N^*），兩邊平方化為Sn=

1

2

(

a

2 n

+an)．當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=

1

2

(

a

2 n-1

+an-1)，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n-a_n-1=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）b_n=(

1

2

)n•a_n=

n

2n

，利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵a_n+

1

2

=

2Sn+ 1 4

（n≥1且n∈N^*），兩邊平方化為Sn=

1

2

(

a

2 n

+an)．
∴a1=

1

2

(

a

2 1

+a1)，a₁＞0，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=

1

2

(

a

2 n-1

+an-1)，
∴a_n=S_n-S_n-1=

1

2

(

a

2 n

+an)-

1

2

(

a

2 n-1

+an-1)，
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（II）b_n=(

1

2

)n•a_n=

n

2n

，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
∴

1

2

Tn=

1

22

+

2

22

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

，
∴T_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2+n

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．