Question

對于函數(shù)f（x），其定義域為D，若任取x₁、x₂∈D，且x₁≠x₂，若f（）＞[f（x₁）+f（x₂）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數(shù)．
（1）設f（x）=ax²（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數(shù)，并說明原因；
（2）若函數(shù)f（x）=㏒_ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數(shù)，試求出實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)凸函數(shù)的定義，作差f（）-[f（x₁）+f（x₂）]判斷即可；
（2）依題意，f（）＞[f（x₁）+f（x₂）]?＞，通過比較其真數(shù)的大小即可求得實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）f（x）不是其定義域上的凸函數(shù)．
f（x）的定義域為R，設x₁≠x₂，則
f（）-[f（x₁）+f（x₂）]=a-（a-a）=-＜0，…2分
∴f（）＜[f（x₁）+f（x₂）]，…4分
∴f（x）不是其定義域上的凸函數(shù)…6分
（2）∵f（x）的定義域為（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）內(nèi)是凸函數(shù)，
∴f（）＞[f（x₁）+f（x₂）]，…8分
即＞（log_ax₁+log_ax₂）=①…10分
∵x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
∴-x₁x₂=＞0，即＞…12分
故要①成立，則a＞1．
∴實數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）…14分
點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查作差法，著重考查推理證明的邏輯思維能力，屬于難題．