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8.在△ABC中,①A<B?sinA<sinB;②若△ABC為銳角三角形,且BC=3,B=2A,則AC的取值范圍是(6,23);③若O為△ABC所在平面內(nèi)異于A,B,C的一定點,動點P滿足OP=OA+λ(AB|AB|sinB+AC|AC|sinC)(λ∈R),則動點P必過△ABC的重心.其中所有正確結(jié)論的序號是(  )
A.B.①③C.①②D.②③

分析 (1)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性和誘導(dǎo)公式推導(dǎo);
(2)由銳角三角形推出A的范圍,利用正弦定理得出AC的范圍;
(3)作AD⊥BC,利用向量線性運算的幾何意義得出A,D,P三點共線.

解答 解:(1)若A<B≤\frac{π}{2},則sinA<sinB,
若A<\frac{π}{2}<B<π,則A<π-B<\frac{π}{2},∴sinA<sin(π-B)=sinB,故①正確
(2)由正弦定理得\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}=\frac{AC}{2sinAcosA},∴AC=2BCcosA=2\sqrt{3}cosA.
∵△ABC為銳角三角形,∴\left\{\begin{array}{l}{A<\frac{π}{2}}\\{2A<\frac{π}{2}}\\{π-A-2A<\frac{π}{2}}\end{array}\right.,解得\frac{π}{6}<A<\frac{π}{4}
\sqrt{6}<2\sqrt{3}cosA<3,故②錯誤.
(3)∵\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}),∴\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=λ(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}).
作△ABC的BC邊上的高AD,則\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}=k1\overrightarrow{AD},\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}=k2\overrightarrow{AD},
\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AD},即點P在直線AD上,故③錯誤.
故選:A.

點評 本題考查了正弦定理,平面向量線性運算的幾何意義,屬于中檔題.

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