3．已知△ABC中，b=6，且sinA：sinB：sinC=5：6：3，則$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{AB}$的值為-31．

分析 利用正弦定理求出三角形各邊，使用余弦定理求出各角的余弦，根據(jù)向量的數(shù)量積定義計(jì)算．

解答 解：△ABC中，∵sinA：sinB：sinC=5：6：3，
∴a：b：c=5：6：3．∵b=6，∴a=5，c=3．
由余弦定理得cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{3}$．cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=-$\frac{1}{15}$，cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{13}{15}$．
∴$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{AB}$=accos（π-B）+abcos（π-C）+bccos（π-A）
=-accosB-abcosC-bccosA=5×$3×\frac{1}{15}$-5×$6×\frac{13}{15}$-6×3×$\frac{1}{3}$=-31．
故答案為：-31．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正余弦定理解三角形，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．

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A．（$\frac{23}{4}$，$\frac{29}{4}$）B．（$\frac{20}{3}$，$\frac{29}{4}$）C．（$\frac{23}{4}$，$\frac{20}{3}$）D．（-∞，$\frac{20}{3}$）

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A．-2B．2C．$\sqrt{3}$D．-$\sqrt{3}$

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18．如圖，在同一平面內(nèi)，∠AOB=150°，∠AOC=120°，|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=3，|$\overrightarrow{OC}$|=4．
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A．①B．①③C．①②D．②③

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