Question

7．在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，PA=PD=3，PD⊥CD．E為AB中點(diǎn)．
（1）證明：PE⊥CD；
（2）求直線PB和面PDE所成線面角的值．

Answer 1

分析 （1）在菱形ABCD中，∠BAD=60°，E為AB的中點(diǎn)，可得DE⊥CD，又PD⊥CD，即可證明CD⊥平面PDE．
（2）由（I）可得：BE⊥平面PDE，∠BPE為直線PB和面PDE所成線面角的值．
以D為原點(diǎn)，DE，DC所在射線分別為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．利用PA=PD=3，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可得出．

解答 （1）證明：在菱形ABCD中，∵∠BAD=60°，E為AB的中點(diǎn)，可得DE⊥CD，
又∵PD⊥CD，∴CD⊥平面PDE，∵PE?平面PDE，
因此PE⊥CD． 
（2）解：由（I）可得：BE⊥平面PDE，∠BPE為直線PB和面PDE所成線面角的值．
以D為原點(diǎn)，DE，DC所在射線分別為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．可知
D（0，0，0），C（0，2，0），E（$\sqrt{3}$，0，0），
B（$\sqrt{3}$，1，0），A （$\sqrt{3}$，-1，0），
設(shè)P（a，0，c）．∵PA=PD=3，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{c}^{2}=9}\\{（a-\sqrt{3}）^{2}+（-1）^{2}+{c}^{2}=9}\end{array}\right.$，
解得P$（\frac{2}{\sqrt{3}}，0，\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{3}}）$．$\overrightarrow{EP}$=$（-\frac{\sqrt{3}}{3}，0，\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{3}}）$，
∴$|\overrightarrow{EP}|$=$\sqrt{（-\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{3}}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
在RT△PEB中，tan∠BPE=$\frac{BE}{PE}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴直線PB和面PDE所成線面角的值為arctan$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系與空間角、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、空間角，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．