Question

9．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-1）²=1，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求C₁和C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知射線l₁：θ=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），將l₁逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{6}$得到l₂：θ=α+$\frac{π}{6}$，且l₁與C₁交于O，P兩點(diǎn)，l₂與C₂交于O，Q兩點(diǎn)，求|OP|•|OQ|取最大值時(shí)點(diǎn)P的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得：曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為：（x-1）²+y²=1，展開(kāi)利用互化公式即可得出C₁極坐標(biāo)方程．曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-1）²=1，展開(kāi)為x²+y²-2y=0．利用互化公式可得C₂極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P極點(diǎn)坐標(biāo)（ρ₁，α），即ρ₁=2cosα．點(diǎn)Q極坐標(biāo)為$（{ρ}_{2}，α+\frac{π}{6}）$，即ρ₂=2sin$（α+\frac{π}{6}）$．則|OP|•|OQ|=ρ₁ρ₂=4cosαsin$（α+\frac{π}{6}）$，化簡(jiǎn)利用三角函數(shù)的和差公式與單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
利用平方關(guān)系可得：曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為：（x-1）²+y²=1，展開(kāi)為：x²+y²-2x=0．
∴C₁極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-1）²=1，展開(kāi)為x²+y²-2y=0．
∴C₂極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P極點(diǎn)坐標(biāo)（ρ₁，α），即ρ₁=2cosα．
點(diǎn)Q極坐標(biāo)為$（{ρ}_{2}，α+\frac{π}{6}）$，即ρ₂=2sin$（α+\frac{π}{6}）$．
則|OP|•|OQ|=ρ₁ρ₂=4cosαsin$（α+\frac{π}{6}）$=4cosα$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinα+\frac{1}{2}cosα）$=2sin$（2α+\frac{π}{6}）$+1．
∵α∈$（0，\frac{π}{2}）$，∴$（2α+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$，
當(dāng)2$α+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{6}$時(shí)，|OP|•|OQ|取最大值，
此時(shí)P極點(diǎn)坐標(biāo)$（\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．