Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinxsin（

π

2

-x）+sin²x-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[0，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）化簡先求f（x）的解析式，從而可求最小正周期；
（Ⅱ）由已知可求2x-

π

6

的范圍，從而可求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

sinxsin（

π

2

-x）+sin²x-1=

3

sinxcosx+

1-cos2x

2

-1=sin（2x-

π

6

）-

1

2

．
∴T=

2π

2

=π
∴f（x）的最小正周期是π；
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴f（x）_max=

1

2

，f（x）_min=-1．

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應用，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的圖象與性質，屬于基本知識的考查．