Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax²-x，若對任意x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，不等式$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 對不等式$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$進行化簡，轉(zhuǎn)化為a（x₁+x₂）-1＞0恒成立，再將不等式變形，得到a＞$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$恒成立，從而將恒成立問題轉(zhuǎn)變成求$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$的最大值，即可求出a的取值范圍．

解答 解：不妨設(shè)x₂＞x₁≥2，不等式$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{a{{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}-a{{x}_{2}}^{2}+{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
=$\frac{a（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）-（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=a（x₁+x₂）-1，
∵對任意x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，不等式$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，
∴x₂＞x₁≥2時，a（x₁+x₂）-1＞0，即a＞$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$恒成立
∵x₂＞x₁≥2
∴$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜$\frac{1}{4}$
∴a≥$\frac{1}{4}$，即a的取值范圍為[$\frac{1}{4}$，+∞）；
故答案為：[$\frac{1}{4}$，+∞）．

點評 本題考查了不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，注意運用參數(shù)分離．