Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠DAB=60°，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PAD⊥平面PGB
（2）若點(diǎn)E在BC邊上，且$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BC}$，求平面PDC和平面PGE所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BG⊥AD，從而BG⊥平面PAD，由此能證明平面PAD⊥平面PGB．
（2）以G為原點(diǎn)，分別以GB，GD，GP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PDC和平面PGE所成的銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）∵在菱形ABCD中，∠DAB=60°
G為AD的中點(diǎn)，∴BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BG⊥平面PAD，
又BG?平面PGB，
∴平面PAD⊥平面PGB．
解：（2）∵BG⊥平面PAD，∴BG⊥AD，BG⊥PG，
∵△PAD是等邊三角形，且G為AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD，
以G為原點(diǎn)，分別以GB，GD，GP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則G（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），D（0，1，0），
C（$\sqrt{3}，2，0$），設(shè)E（$\sqrt{3}$，y₀，0），
∵$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$，∴${y}_{0}=\frac{1}{2}$，即E（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}，0$），
∴$\overrightarrow{PD}$=（0，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{GE}$=（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}，0$），
設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}x+2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令x=-1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），
設(shè)平面PGE的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{GP}•\overrightarrow{m}=\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{GE}•\overrightarrow{m}=\sqrt{3}a+\frac{1}{2}b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-2$\sqrt{3}$，0），
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1-6|}{\sqrt{5}×\sqrt{13}}$=$\frac{7\sqrt{65}}{65}$，
∴平面PDC和平面PGE所成的銳二面角的余弦值為$\frac{7\sqrt{65}}{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．