Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)B（0，-1）．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線l：y=k（x+2）交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$＜0，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解出即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，利用平面向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由題意知$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\\ c=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，消去y，得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，（*）
依題意：直線l：y=k（x+2）恒過點(diǎn)（-2，0），此點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，
∴x₁=-2，y₁=0①，由（*）式，${x_1}+{x_2}=-\frac{{16{k^2}}}{{（1+4{k^2}）}}$，②
可得y₁+y₂=k（x₁+2）+k（x₂+2）=k（x₁+x₂）+4k，③
由①②③，${x_2}=\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，${y_2}=\frac{4k}{{1+4{k^2}}}$，
∵$\overrightarrow{BP}=（-2，1），\overrightarrow{BQ}=（{x_2}，{y_2}+1）$，
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}=-2{x_2}+{y_2}+1＜0$．
即$\frac{{16{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}+\frac{4k}{{1+4{k^2}}}+1＜0$，
整理得20k²+4k-3＜0．
解得：$k∈（-\frac{1}{2}，\frac{3}{10}）$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、含參直線恒過定點(diǎn)、平面向量數(shù)量積、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．