Question

12．如圖所示的幾何體是由等邊三角形ABC的底面的棱柱被平面DEF所截得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：OC⊥DF；
（2）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的大�。�
（3）求多面體ABC-FDE的體積V．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出FA⊥OC，CO⊥AB，由此能證明OC⊥DF．
（2）取DF的中點(diǎn)G，以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OG分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的大�。�
（3）多面體ABC-FDE的體積：V=V_E-ABDF+V_E-ABC，由此能求出多面體ABC-FDE的體積．

解答 證明：（1）∵FA⊥平面ABC，OC?平面ABC，∴FA⊥OC，
又等邊三角形ABC中，O為AB的中點(diǎn)，∴CO⊥AB，
∵AF∩AB=A，∴OC⊥平面ABF，
∵DF?平面ABF，∴OC⊥DF．
解：（2）取DF的中點(diǎn)G，以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OG分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
C（0，$\sqrt{3}$，0），D（1，0，1），E（0，$\sqrt{3}，3$），F(xiàn)（-1，0，2），
$\overrightarrow{DE}$=（-1，$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{DF}$=（-2，0，1），
設(shè)平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-x+\sqrt{3}y=2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=-2x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}=（1，-\sqrt{3}，2）$，
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{1×2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{4}$，
∴平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的大小為$\frac{π}{4}$．
（3）由（1）知OC⊥平面ABEF，且EC⊥平面ABC，
∴多面體ABC-FDE的體積：
V=V_E-ABDF+V_E-ABC=$\frac{1}{3}×OC×{S}_{梯形ABDF}+\frac{1}{3}EC×{S}_{△ABC}$
=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}×2（1+2）+\frac{1}{3}×3×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
∴多面體ABC-FDE的體積為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 中檔題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算．在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”．利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)基本思路．對(duì)計(jì)算能力要求較高．