3.已知函數(shù)y=f(x),若在定義域內(nèi)存在x0,使得f(-x0)=-f(x0)成立,則稱x0為函數(shù)f(x)的局部對(duì)稱點(diǎn).
(I)若a∈R且a≠0,求函數(shù)f(x)=ax2+x-a的“局部對(duì)稱點(diǎn)”;
(II)若函數(shù)f(x)=4x-m•2x+1+m2-3在R上有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (Ⅰ)直接由奇函數(shù)的定義列式求得x值得答案;
(Ⅱ)由f(-x)=-f(x),可得4x+4-x-2m(2x+2-x)+2(m2-3)=0在R上有解,令t=2x+2-x,(t≥2),則4x+4-x=t2-2,轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[2,+∞)內(nèi)有解,令g(t)=t2-2mt+2m2-8,由題意需滿足以下條件:g(2)≤0或$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}-8({m}^{2}-4)≥0}\\{m≥2}\\{g(2)≥0}\end{array}\right.$,求解得答案.

解答 解:(Ⅰ)由f(x)=ax2+x-a,得f(-x)=ax2-x-a,
代入f(-x)=-f(x),得ax2+x-a+ax2-x-a=0,即ax2-a=0(a≠0),
∴x=±1,
∴函數(shù)f(x)=ax2+x-a的局部對(duì)稱點(diǎn)是±1;
(Ⅱ)∵f(-x)=4-x-m•2-x+1+m2-3,由f(-x)=-f(x),
得4-x-m•2-x+1+m2-3=-(4x-m•2x+1+m2-3),
于是4x+4-x-2m(2x+2-x)+2(m2-3)=0①在R上有解,
令t=2x+2-x,(t≥2),則4x+4-x=t2-2,
∴方程①變?yōu)閠2-2mt+2m2-8=0在區(qū)間[2,+∞)內(nèi)有解,
令g(t)=t2-2mt+2m2-8,由題意需滿足以下條件:
g(2)≤0或$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}-8({m}^{2}-4)≥0}\\{m≥2}\\{g(2)≥0}\end{array}\right.$,
解得$1-\sqrt{3}≤m≤1+\sqrt{3}$或$1+\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{2}$,
綜上$1-\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題是新定義題,考查了函數(shù)的定義域及其求法,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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13.如圖,在四棱錐P-ABCD中,△ABC為正三角形,AB⊥AD,AC⊥CD,PC=$\sqrt{2}PA=\sqrt{2}$AC,平面PAC⊥平面ABCD.
(1)點(diǎn)E在棱PC上,試確定點(diǎn)E的位置,使得PD⊥平面ABE;
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14.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z與$\frac{5}{2-i}$對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,則z等于( 。
A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i

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11.已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,給出x,f(x)對(duì)應(yīng)值如表:
x123456
f(x)23.521.4-7.811.5-5.7-12.4
函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有( 。
A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

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18.已知函數(shù)f(x)是(-∞,+∞)上的偶函數(shù),若對(duì)于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f(x)=log2(x+1),則f(-2017)=1.

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A.3B.(3,0)C.4D.(4,0)

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15.函數(shù)y=$\frac{\sqrt{4-x}}{{x}^{2}-1}$的定義域?yàn)閧x|x≤4且x≠±1}.

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12.已知全集U=R,集合A={x|x>4},B={x|-6<x<6}.
(1)求A∩B和A∪B;
(2)求∁UB;
(3)定義A-B={x|x∈A,且x∉B},求A-B,A-(A-B).

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13.已知:a>0,b>0,a+4b=4
(1)求ab的最大值;
(2)求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值.

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