Question

如圖ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，一只青蛙開始在頂點(diǎn)A處，它每次可隨意跳到相鄰三頂點(diǎn)之一，若在五次內(nèi)跳到C₁點(diǎn)，則停止跳動(dòng)；若5次內(nèi)不能跳到C₁點(diǎn)，跳完五次也停止跳動(dòng)，求：
（1）5次以內(nèi)能到C₁點(diǎn)的跳法有多少種？
（2）從開始到停止，可能出現(xiàn)的跳法有多少種？

Answer 1

解：（1）由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問題，如果不回跳，那么跳三次可到達(dá)C₁點(diǎn)，
第一跳有3種；第二跳有2種；第三跳有1種，
根據(jù)乘法原理知共有N₁=3×2×1=6種．
（2）由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，
由條件青蛙的跳法只可能出現(xiàn)兩種情況，
其一跳三次到達(dá)C₁點(diǎn)，有6種跳法，
其二跳五次停止（前三次不到C₁點(diǎn)），有（3³-6）•3²=189，
故共有6+189=195種不同的跳法．
分析：（1）由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問題，如果不回跳，那么跳三次可到達(dá)C₁點(diǎn)，第一跳有3種；第二跳有2種；第三跳有1種，相乘得到結(jié)果．
（2）本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，由條件青蛙的跳法只可能出現(xiàn)兩種情況，其一跳三次到達(dá)C₁點(diǎn)，有6種跳法，其二跳五次停止（前三次不到C₁點(diǎn)），根據(jù)分類計(jì)數(shù)得到結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查加法原理和乘法原理，同時(shí)也考查了學(xué)生分析解答問題的能力，本題解題的關(guān)鍵是從已知分析得到，青蛙不能經(jīng)過跳1次、2次或4次到達(dá)，應(yīng)從青蛙跳3次到達(dá)和青蛙一共跳5次后停止兩種情況入手分析計(jì)算，本題是一個(gè)中檔題目．