Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足2S_n=3a_n-$\frac{1}{2}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=1+2log₃2a_n，求證：$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意結(jié)合a_n和S_n的關(guān)系可得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得b_n=2n-1，由裂項(xiàng)相消法求和可證不等式．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足2S_n=3a_n-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n=1時(shí)，$2{S_1}=3{a_1}-\frac{1}{2}$，即$2{a_1}=3{a_1}-\frac{1}{2}$，解得${a_1}=\frac{1}{2}$；
當(dāng)n≥2時(shí)，由$2{S_n}=3{a_n}-\frac{1}{2}$可得$2{S_{n-1}}=3{a_{n-1}}-\frac{1}{2}$，
兩式相減可得2a_n=3a_n-3a_n-1，變形可得$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=3$，
∴數(shù)列{a_n}是以${a_1}=\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得${a_n}=\frac{1}{2}•{3^{n-1}}$；
（Ⅱ）證明：∵b_n=1+2log₃2a_n=2n-1，
∴$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
∴$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$
=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）＜\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式和裂項(xiàng)相消法求和，涉及等比數(shù)列的判定和通項(xiàng)公式，屬中檔題．