Question

5．復數z₁=sin²x+i•cos2x，z₂=sin²x+i•cosx（其中x∈R，i為虛數單位），在復平面上，復數z₁、z₂能否表示同一個點：若能，指出該點表示的復數；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 由題意得到關于x的三角方程，求解三角方程得到x值，即可求得復數z₁、z₂的值．

解答 解：復數z₁=sin²x+i•cos2x，z₂=sin²x+i•cosx，
若復數z₁、z₂表示同一個點，則：
$\left\{\begin{array}{l}{si{n}^{2}x=si{n}^{2}x}\\{cos2x=cosx}\end{array}\right.$，由cos2x=cosx，得2cos²x-cosx-1=0，
解得cosx=1或cosx=$-\frac{1}{2}$，
當cosx=1時，x=2kπ，k∈Z，此時cos2x=1，sin²x=0，z₁=z₂=i；
當cosx=-$\frac{1}{2}$時，x=2kπ$±\frac{2}{3}π$，此時cos2x=$-\frac{1}{2}$，$si{n}^{2}x=\frac{3}{4}$，${z}_{1}={z}_{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}i$．
∴在復平面上，復數z₁、z₂能表示同一個點，該點表示的復數為i或$\frac{3}{4}-\frac{1}{2}i$．

點評 本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，考查了三角函數值的求法，屬中檔題．