Question

14．已知函數 f（x）=a（|sinx|+|cosx|）-sin2x-1，a∈R．
（1）寫出函數 f（x）的最小正周期（不必寫出過程）；
（2）求函數 f（x）的最大值；
（3）當a=1時，若函數 f（x）在區(qū)間（0，kπ）（k∈N^*）上恰有2015個零點，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由周期函數的定義．
（2）換元，由二次函數的性質得到最值．
（3）由一個周期內的情況類比出2015個零點的情況．

解答 解：（1）函數 f（x）的最小正周期為π．
（2）∵f（x）=a（|sinx|+|cosx|）-sin2x-1，a∈R
=a$\sqrt{1+|sin2x|}$-sin2x-1=a$\sqrt{1+|sin2x|}$-（sin2x+1），
令t=$\sqrt{1+|sin2x|}$，t∈[0，$\sqrt{2}$]，
∴y=at-t²=-（t-$\frac{1}{2}$a）²+$\frac{1}{4}$a²，
①$\frac{1}{2}$a≤0時，在t=0處，y_max=0，
②0＜$\frac{1}{2}$a＜$\sqrt{2}$時，在t=$\frac{1}{2}$a處，y_max=$\frac{1}{4}$a²，
③$\frac{1}{2}$a≥$\sqrt{2}$時，在t=$\sqrt{2}$處，y_max=$\sqrt{2}$a-2．
（3）當a=1時，f（x）=$\sqrt{1+|sin2x|}$-sin2x-1，
∵當且僅當sin2x=0時，f（x）=0，
∴x∈（0，π]時，f（x）有且僅有兩個零點分別為$\frac{π}{2}$，π，
∴2015=2×1007+1，
∴k=1008．

點評 本題主要考查周期函數的定義，換元，二次函數的性質以及類比．