Question

9．設數(shù)列{a_n}首項a₁=2，a_n+1=$\sqrt{3}$a_n，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．若T_n=$\frac{28{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$，n∈N^*，當T_n取最大值時，n=（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． 6
• D． 3

Answer 1

分析 先根據(jù)等比數(shù)列的前n項和和通項公式得到T_n=$\frac{（\sqrt{3}+1）[28•（\sqrt{3}）^{n}-28-{3}^{n}+1]}{2×（\sqrt{3}）^{n}}$，再設（$\sqrt{3}$）ⁿ=t，（t＞0），構造函數(shù)f（t）=$\frac{-{t}^{2}+28t-27}{t}$，根據(jù)基本不等式求出f（t）的最大值，即可得到答案．

解答 解：數(shù)列{a_n}首項a₁=2，a_n+1=$\sqrt{3}$a_n，
∴數(shù)列{a_n}是公比為$\sqrt{3}$的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2×（$\sqrt{3}$）ⁿ，
S_n=$\frac{2（1-（\sqrt{3}）^{n}）}{1-\sqrt{3}}$=（$\sqrt{3}$+1）[（$\sqrt{3}$）ⁿ-1]，
S_2n=$\frac{2（1-（\sqrt{3}）^{2n}）}{1-\sqrt{3}}$=（$\sqrt{3}$+1）（3ⁿ-1），
∴T_n=$\frac{28{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{（\sqrt{3}+1）[28•（\sqrt{3}）^{n}-28-{3}^{n}+1]}{2×（\sqrt{3}）^{n}}$，
設（$\sqrt{3}$）ⁿ=t，（t＞0），
令f（t）=$\frac{-{t}^{2}+28t-27}{t}$=-（t+$\frac{27}{t}$）+28≤-2$\sqrt{t•\frac{27}{t}}$+28=-6$\sqrt{3}$+28，當且t=3$\sqrt{3}$時取等號，
∴（$\sqrt{3}$）ⁿ=3$\sqrt{3}$，
解得n=3，
故選：D．

點評 本題考查了等比的數(shù)列的前n項和公式以及數(shù)列的函數(shù)特征和基本不等式，屬于中檔題．