Question

4．在△ABC中，點D滿足$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{DC}$，當E點在線段AD上移動時，若$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，則t=（λ-1）²+μ²的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件容易得到點D為邊BC的中點，從而$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，而E為AD上的點，從而有$\overrightarrow{AE}=\frac{k}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{2}\overrightarrow{AC}$，且0≤k≤1，而根據(jù)$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$便可得到λ=μ，并且$0≤μ≤\frac{1}{2}$，λ=μ帶入t=（λ-1）²+μ²并配方便可得出t的最小值．

解答 解：$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}$；
∴D為邊BC的中點，如圖，

則：$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
∵E在線段AD上；
∴設$\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AD}=\frac{k}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{2}\overrightarrow{AC}$，0≤k≤1；
又$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{k}{2}}\\{μ=\frac{k}{2}}\end{array}\right.$；
即λ=μ，且$0≤μ≤\frac{1}{2}$；
∴t=（μ-1）²+μ²
=μ²-2μ+1+μ²
=$2（μ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}$；
∴$μ=\frac{1}{2}$時，t取最小值$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 考查向量相等的概念，向量加法的平行四邊形法則，共線向量基本定理，向量數(shù)乘的幾何意義，以及平面向量基本定理，配方法求二次函數(shù)的最值．