Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為An ， 對任意n∈N*滿足 ﹣ = ，且a1=1，數(shù)列{bn}滿足bn+2﹣2bn+1+bn=0（n∈N*），b3=5，其前9項和為63．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（2）令cn= + ，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn ， 若對任意正整數(shù)n，都有Tn≥2n+a，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）將數(shù)列{an}，{bn}的項按照“當n為奇數(shù)時，an放在前面；當n為偶數(shù)時，bn放在前面”的要求進行“交叉排列”，得到一個新的數(shù)列：a1 ， b1 ， b2 ， a2 ， a3 ， b3 ， b4 ， a4 ， a5 ， b5 ， b6 ， …，求這個新數(shù)列的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴數(shù)列 是首項為1，公差為 的等差數(shù)列，

∴ ，即 ，

∴ ，

又a1=1，∴ ，

∵bn+2﹣2bn+1+bn=0，∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，

設(shè){bn}的前n項和為Bn，∵ 且b3=5，

∴b7=9，∴{bn}的公差為 ，

（2）解：由（1）知 ，

∴Tn=c1+c2+…+cn= = = ，

∴ ，

設(shè) ，則 ，

∴數(shù)列{Rn}為遞增數(shù)列，

∴ ，

∵對任意正整數(shù)n，都有Tn﹣2n≥a恒成立，∴

（3）解：數(shù)列{an}的前n項和 ，數(shù)列{bn}的前n項和 ．

①當n=2k（k∈N*）時， ；

②當n=4k+1（k∈N*）時， =4k2+8k+1，

特別地，當n=1時，S1=1也符合上式；

③當n=4k﹣1（k∈N*）時， ．

綜上： ，k∈N*

【解析】（1）由 ，利用等差數(shù)列通項公式可得An ， 再利用遞推關(guān)系可得an ． 由bn+2﹣2bn+1+bn=0，可得數(shù)列
{bn}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式與通項公式即可得出．（2）由（1）知 ，再利用“裂項求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．（3）數(shù)列{an}的前n項和 ，數(shù)列{bn}的前n項和 ．對n分類討論即可得出．