Question

【題目】已知在數(shù)列{an}中， ．，n∈N*
（1）求證：1＜an+1＜an＜2；
（2）求證： ；
（3）求證：n＜sn＜n+2．

Answer 1

【答案】
（1）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明1＜an＜2．

①．n=1時(shí) ，

②．假設(shè)n=k時(shí)成立，即1＜ak＜2．

那么n=k+1時(shí)， 成立．

由①②知1＜an＜2，n∈N*恒成立. ．

所以1＜an+1＜an＜2成立．

（2）證明： ，

當(dāng)n≥3時(shí)， 而1＜an＜2．所以 ．

由 ，得 ，

所以

（3）證明：由（1）1＜an＜2得sn＞n

由（2）得 ，

【解析】（1）先用數(shù)學(xué)歸納法證明1＜an＜2．由. ．可證得1＜an+1＜an＜2成立．（2） ，
當(dāng)n≥3時(shí)，由 ，得 ，
，

即可證得 （3）由（1）1＜an＜2得sn＞n
由（2）得 ，

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．