Question

已知f（x）=xe^x，定義f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N^*．
經(jīng)計(jì)算f₁（x）=（x+1）e^x，f₂（x）（x+2）e^x，f₃（x）=（x+3）e^x，…，照此規(guī)律，則f_n（x）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專(zhuān)題：推理和證明

分析：由已知中f（x）=xe^x，記f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f₁′（x），…f_n+1（x）=f_n′（x）（n∈N^*），分析出f_n（x）解析式隨n變化的規(guī)律，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=xe^x，
f₁（x）=f′（x）=e^x+xe^x=（x+1）e^x，
f₂（x）=f₁′（x）=2e^x+xe^x=（x+2）e^x，
f₃（x）=f₂′（x）=3e^x+xe^x=（x+3）e^x，
…
由此歸納可得：f_n（x）=f_n-1′（x）=ne^x+xe^x=（x+n）e^x，
故答案為：（x+n）e^x

點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．