Question

已知a，b為正實(shí)數(shù)，且

1

a

+

2

b

=2，若a+b-c≥0對(duì)于滿足條件的a，b恒成立，則c的取值范圍為（　�。�

Answer 1

分析：a+b=（a+b）•

1

2

（

1

a

+

2

b

）=

1

2

（3+

b

a

+

2a

b

），利用基本不等式可求出a+b的最小值（a+b）_min，要使a+b-c≥0對(duì)于滿足條件的a，b恒成立，只要值（a+b）_min-c≥0即可．

解答：解：a，b都是正實(shí)數(shù)，且a，b滿足

1

a

+

2

b

=2①，
則a+b=（a+b）•

1

2

（

1

a

+

2

b

）=

1

2

（3+

b

a

+

2a

b

）
≥

1

2

（3+2

b a • 2a b

）=

3

2

+

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

2a

b

即b=

2

a②時(shí)，等號(hào)成立．
聯(lián)立①②解得a=

2 +1

2

，b=

2+ 2

2

，故a+b的最小值為

3

2

+

2

，
要使a+b-c≥0恒成立，只要

3

2

+

2

-c≥0，即c≤

3

2

+

2

，故c的取值范圍為（-∞，

3

2

+

2

]．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式的使用條件：一正、二定、三相等，以及函數(shù)的恒成立問題．