5.已知sin(α-$\frac{π}{6}$)=$\frac{2}{3}$,α∈(π,$\frac{3π}{2}$),cos($\frac{π}{3}$+β)=$\frac{5}{13}$,β∈(0,π),求cos(β-α)的值.

分析 由條件求得cos(α+$\frac{π}{3}$ )的值,可得sin (α+$\frac{π}{3}$ )的值,再求得sin($\frac{π}{3}$+β)的值,再根據(jù)cos(β-α)=cos[(β+$\frac{π}{3}$)-(α+$\frac{π}{3}$)],計(jì)算求得結(jié)果.

解答 解:sin(α-$\frac{π}{6}$)=$\frac{2}{3}$=-cos(α-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{2}$)=-cos(α+$\frac{π}{3}$ ),即cos(α+$\frac{π}{3}$ )=-$\frac{2}{3}$,
∵α∈(π,$\frac{3π}{2}$),∴sin (α+$\frac{π}{3}$ )=-$\sqrt{{1-cos}^{2}(α+\frac{π}{3})}$=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$.
∵cos($\frac{π}{3}$+β)=$\frac{5}{13}$,β∈(0,π),∴$\frac{π}{3}$+β為銳角,
故sin($\frac{π}{3}$+β)=$\sqrt{{1-cos}^{2}(β+\frac{π}{3})}$=$\frac{12}{13}$,
∴cos(β-α)=cos[(β+$\frac{π}{3}$)-(α+$\frac{π}{3}$)]=cos($\frac{π}{3}$+β)cos($\frac{π}{3}$+α)+sin ($\frac{π}{3}$+β)sin($\frac{π}{3}$+α)
=$\frac{5}{13}•(-\frac{2}{3})$+(-$\frac{\sqrt{5}}{3}$)•$\frac{12}{13}$=-$\frac{10+12\sqrt{5}}{39}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角差的余弦公式的應(yīng)用,以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào),屬于中檔題.

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15.同一個(gè)平面上的兩個(gè)非零向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$,則向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$夾角的取值范圍為[0,$\frac{π}{3}$].

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16.下列各數(shù)a=3E(16)、b=210(6)、c=1000(4)、d=111011(2)中,由大到小的順序是b>c>a>d.

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13.1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2

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20.設(shè)f'(x)是函數(shù)f(x)在R的導(dǎo)函數(shù),對(duì)?x∈R,f(-x)+f(x)=x2,且?x∈[0,+∞),f'(x)>x.若f(2-a)-f(a)≥2-2a,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].

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10.設(shè)ω>0,若函數(shù)f(x)=2sinωx在[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{4}$]上單調(diào)遞增,則ω的取值范圍是(  )
A.(0,$\frac{1}{2}$]B.(1,$\frac{3}{2}$]C.[0,$\frac{3}{2}$]D.(0,$\frac{3}{2}$]

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17.若sin(π+α)=$\frac{3}{5}$,α是第三象限的角,則tanα=$\frac{3}{4}$.

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14.已知函數(shù)f(x)=$\frac{2x-1}{x+1}$.
(1)判斷并證明函數(shù)f(x)在[0,+∞)的單調(diào)性;
(2)若x∈[1,m]時(shí)函數(shù)f(x)的最大值與最小值的差為$\frac{1}{2}$,求m的值.

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15.已知函數(shù)f(x)=x-$\frac{4}{x}$,g(x)=x2-2mx+2.
( I)證明f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù);
( II)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1,x2∈[1,2],都有f(x1)≤g(x2),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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