Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）在[0，+∞）的單調(diào)性；
（2）若x∈[1，m]時(shí)函數(shù)f（x）的最大值與最小值的差為$\frac{1}{2}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明判斷即可．
（2）利用（1）的結(jié)果，求出函數(shù)的最值，列出方程求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
證明如下：任取x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=2-\frac{3}{{{x_1}+1}}-（2-\frac{3}{{{x_2}+1}}）=\frac{{3（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$
因?yàn)閤₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（2）由（1）知f（x）在[1，m]遞增，所以$f（m）-f（1）=\frac{1}{2}$，即：$\frac{2m-1}{m+1}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，所以m=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．